Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+a

2x+1

（a∈R），
（1）確定實數(shù)a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）在（1）的基礎(chǔ)上，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)解析式滿足的條件，解恒等式，求出a的值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性，得到本題結(jié)論；（3）對原函數(shù)解析式進行變形，變成部分分式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求出原函數(shù)值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）恒成立．
∵函數(shù)f（x）=-

2x+a

2x+1

（a∈R），
∴

2-x+a

2-x+1

=-

2x+a

2x+1

，
∴（a+1）（2^x+1）=0，
∴a=-1．
（2）判斷結(jié)論：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
證明：由（1）知：f（x）=

2x-1

2x+1

=1+

-2

2x+1

，
在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=（1+

-2

2x2+1

）-（1+

-2

2x1+1

）
=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x2+1)(2x1+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴0＜2 x1＜2 x2，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
（3）∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1+

-2

2x+1

，
∴2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-2＜

-2

2x+1

＜0，
∴-1＜1+

-2

2x+1

＜1，
∴函數(shù)f（x）的值域為：（-1，1）．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和值域，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．