Question

若橢圓mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）與直線x+y-1=0交于A，B兩點(diǎn)，若m：n=1：

2

，則過原點(diǎn)與線段AB的中點(diǎn)M的連線的斜率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，作差運(yùn)用平方差公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到直線OM的斜率．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則mx₁²+ny₁²=1，mx₂²+ny₂²=1，
兩式相減可得，m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由于線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
則有k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

mx0

ny0

=-1，
則k_OM=

y0

x0

=

m

n

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，考查直線的斜率公式，點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．