Question

在平面直角坐標系xOy中，y軸正半軸上的點列{A_n}與曲線y=

2x

（x＞0）上的點列{B_n}滿足|OA_n|=|OB_n|=

1

n

，直線A_nB_n
在x軸上的截距為a_n，點B_n的橫坐標為b_n，n∈N^*
（1）證明：a_n＞a_n+1＞4，n∈N^*
（2）證明：存在n₀∈N^*，使得對任意的n＞n₀，都有

b2

b1

+

b3

b2

+…+

bn

bn-1

+

bn+1

bn

＜n-2004．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的應用

專題：證明題,點列、遞歸數列與數學歸納法,不等式的解法及應用

分析：（1）由條件求得A_n（0，

1

n

），B_n（b_n，

2bn

），解得b_n，確定單調性，由截距式方程，求得a_n，確定單調性，即可得證；
（2）即證

n

i=1

(1-

bi+1

bi

)＞2004，由（1）的結論，得到1-

bi+1

bi

＞

1

k+2

．再求和，放縮得大于

1

2

+

1

2

+

1

2

+…，即可說明只要n足夠大，即有

n

i=1

(1-

bi+1

bi

)＞2004，從而得證．

解答： 證明：（1）A_n（0，

1

n

），B_n（b_n，

2bn

），b_n²+2b_n=

1

n2

，
則b_n=

1+ 1 n2

-1，則0＜b_n＜

1

2n2

，b_n單調遞減，
n²b_n=n（

1+n2

-n）=

n

1+n2 +n

=

1

1+ 1+ 1 n2

單調遞增，
則0＜n

bn

＜

2

2

，令t_n=

1

n bn

＞

2

，且b_n遞減，
由截距式方程

bn

an

+

2bn

1 n

=1（1-2n²b_n=n²b_n²）
則a_n=

bn

1-n 2bn

=

1+n 2bn

n2bn

=（

1

n bn

）²+

2

（

1

n bn

）
=t_n²+

2

t_n=（t_n+

2

2

）²-

1

2

≥（

2

+

2

2

）²-

1

2

=4，
且t_n遞減，則a_n遞減，即有a_n＞a_n+1＞4；
（2）即證

n

i=1

(1-

bi+1

bi

)＞2004，
由于1-

bi+1

bi

=

bi-bi+1

bi

=

1+ 1 k2 - 1+ 1 (k+1)2

1+ 1 k2 -1

=k²（

1

k2

-

1

(k+1)2

），

1+ 1 k2 +1

1+ 1 k2 + 1+ 1 (k+1)2

≥

2k+1

(k+1)2

•

1+ 1 k2 +1

2 1+ 1 k2

＞

2k+1

(k+1)2

×

1

2

＞

1

k+2

．
則

n

i=1

(1-

bi+1

bi

)＞

n

i=1

1

i+2

=（

1

3

+

1

4

）+（

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

）+…＞

1

2

+

1

2

+

1

2

+…
只要n足夠大，即有

n

i=1

(1-

bi+1

bi

)＞2004，
則存在n₀∈N^*，使得對任意的n＞n₀，都有

b2

b1

+

b3

b2

+…+

bn

bn-1

+

bn+1

bn

＜n-2004．

點評：本題考查數列不等式的證明，考查數列的單調性和運用，考查不等式的放縮法證明，考查推理能力，具有一定的綜合性和難度，屬于難題．