Question

2．過拋物線y²=8x的焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)．求：
（1）被拋物線截得的弦長(zhǎng)|AB|；
（2）線段AB的中點(diǎn)到直線x+2=0的距離．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由直線的傾斜角為45°，則直線的斜率k=1，求得直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂=12，x₁x₂=4，由弦長(zhǎng)公式可知|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$；
（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線的定義，即可求得中點(diǎn)到直線x+2=0的距離．

解答 解：（1）拋物線y²=8x，焦點(diǎn)為（2，0），x=-2，
∴直線l方程為y=x-2，
直線AB即為x+y-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$：整理得：x²-12x+4=0
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=12，x₁x₂=4，
弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1{2}^{2}-4×4}$=16，
被拋物線截得的弦長(zhǎng)|AB|=16；
中點(diǎn)（x，y）滿足：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=6，y=6-2=4，
∴：AB的中點(diǎn)為（6，4），
到直線x+2=0，即拋物線的準(zhǔn)線x=-2的距離為6-（-2）=8
∴線段AB的中點(diǎn)到直線x+2=0的距離為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．