Question

16．如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E為AA′的中點(diǎn)，C′E⊥BE．
（1）求證：C′E⊥平面BCE；
（2）若AC=2，求三棱錐B′-ECB的體積．

Answer 1

分析 （1）證明C′E⊥EC，利用C′E⊥BE，CE∩BE=E，即可證明C′E⊥平面BCE；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化求三棱錐B′-ECB的體積．

解答 （1）證明：在矩形A′ACC′中，E為A′A中點(diǎn)且AA′=2AC，
∴EA=AC，EA′=A′C′，
∴∠AEC=∠A′EC=45°，
∴C′E⊥EC，
∵C′E⊥BE，CE∩BE=E，
∴C′E⊥平面BCE；
（2）解：∵B′C′∥BC，B′C′?平面BCE，BC?平面BCE，
∴B′C′∥平面BCE，
∴V_B′-ECB=V_C′-ECB，
∵C′E⊥平面BCE，
∴C′E⊥BC，
∵BC⊥CC′，C′E∩CC′=C′，
∴BC⊥平面ACC′A′′∴BC⊥CE，
∵AC=2，
∴BC=2，EC=EC′=2$\sqrt{2}$，
∴V_B′-ECB=V_C′-ECB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．