Question

7．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S₁₀=0，S₁₅=25，則使（n+1）S_n取最小值的n等于6或7．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的前n項和公式化簡已知兩等式，聯(lián)立求出首項a₁與公差d的值，結合導數(shù)求出nS_n的最小值．

解答 解：設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
∵S₁₀=10a₁+45d=0，S₁₅=15a₁+105d=25，
∴a₁=-3，d=$\frac{2}{3}$，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n+1）}{2}$d=$\frac{1}{3}$n²-$\frac{10}{3}$n，
∴（n+1）S_n=$\frac{1}{3}$n³-$\frac{10}{3}$n²+$\frac{1}{3}$n²-$\frac{10}{3}$n=$\frac{1}{3}$n³-3n²-$\frac{10}{3}$n
令nS_n=f（n），
∴f′（n）=n²-6n-$\frac{10}{3}$，
∴當n=$3+\frac{1}{3}\sqrt{37}$時，f（n）取得極值，當3$-\frac{1}{3}\sqrt{37}$＜n＜$3+\frac{1}{3}\sqrt{37}$時，f（n）遞減；當n＞$3+\frac{1}{3}\sqrt{37}$時，f（n）遞增；
因此只需比較f（6）和f（7）的大小即可．
f（6）=-56，f（7）=-56，
故（n+1）S_n的最小值為-59．
故答案為：6或7．

點評 此題考查了等差數(shù)列的性質，以及等差數(shù)列的前n項和公式，函數(shù)的導數(shù)的應用，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．