Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}的第2項(xiàng)、第5項(xiàng)分別為二項(xiàng)式（2x+1）5展開式的第5項(xiàng)、第2項(xiàng)的系數(shù)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 若存在實(shí)數(shù)λ，使 恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：二項(xiàng)式（2x+1）5展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1= （2x）5﹣r，

由題意可得a2= 2=10，a5= 24=80，

設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q3= =8，解得q=2，

a1= =5，

則an=52n﹣1，n∈N*

（2）解：由（1）可得前n項(xiàng)和為Sn= =5（2n﹣1），

若存在實(shí)數(shù)λ，使 恒成立，

即為 ＞ ﹣ 恒成立．

化簡可得λ＞2﹣ ，即λ＞1﹣ ，

由n∈N*，可得 ∈（0，1]，

即有1﹣ ∈[0，1），

則當(dāng)λ≥1時(shí)，使 恒成立

【解析】（1）求出二項(xiàng)式（2x+1）5展開式的通項(xiàng)公式，可得a2 ， a5 ， 運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，即可得到所求；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，可得Sn ， 再由參數(shù)分離，化簡可得λ＞1﹣ ，求出不等式右邊的范圍，即可得到所求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．