Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{2x+1}{x+1}$
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論
（2）求該函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義來證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題．

解答 解：（1）f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)，證明如下：
任取-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{x}_{1}+1}{{x}_{1}+1}$-$\frac{2{x}_{2}+1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵-1＜x₁＜x₂⇒x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0⇒f（x₁）＜f（x₂）；
所以，f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）：由（1）知 f（x）[2，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值為f（2）=$\frac{2×2+1}{2+1}$=$\frac{5}{3}$，
最大值f（4）=$\frac{2×4+1}{4+1}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的定義、函數(shù)的最值問題，屬于基礎(chǔ)題．