Question

6．已知$f（x）=x+\frac{1}{x}$
（1）求函數(shù)在$x=\frac{1}{2}$處的切線方程．
（2）求函數(shù)在x=x₀處的切線與直線y=x和y軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由點斜式方程，即可得到函數(shù)在$x=\frac{1}{2}$處的切線方程；
（2）求函數(shù)在x=x₀處的切線；令y=x可得x=y=2x₀，令x=0可得y=$\frac{2}{{x}_{0}}$，即可求函數(shù)在x=x₀處的切線與直線y=x和y軸圍成的三角形的面積．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，所以f′（$\frac{1}{2}$）=1-4=-3，即k=-3，
又f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，所以切線方程為y-$\frac{5}{2}$=-3（x-$\frac{1}{2}$），即3x+y-4=0．
（2）可得在x=x₀處的切線斜率為f′（x₀）=1-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
故此處切線方程為：y-（${x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}$）=（1-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$）（x-x₀），
令y=x可得x=y=2x₀，令x=0可得y=$\frac{2}{{x}_{0}}$，
故三角形的面積為S=$\frac{1}{2}$×|$\frac{2}{{x}_{0}}$|×|2x₀|=2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點處的切線的斜率，考查直線方程的求法，考查運算能力，屬于中檔題．