Question

已知函數(shù)f（x）=

x-a

ax

（a＞0）
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若方程f（x）=x有且只有一個根，求實數(shù)a的值，并求出該根；
（3）若方程關于x的方程f（e^x）=e^x+1有兩個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）先判斷出f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，再通過據(jù)特殊函數(shù)值說明f（-x）≠±f（x）；
（2）由題意化簡方程得：ax²-x+a=0，則根據(jù)a＞0和方程只有一個實數(shù)根得△=1-4a²=0，解出a、x的值；
（3）將方程f（e^x）=e^x+1化簡后，令t=e^x、且t＞0，將問題轉化為：方程at²+（a-1）t+a=0有兩個不同的正根，列出相應的方程求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，
∵f(1)=

1-a

a

 ， f(-1)=

1+a

a

，∴f(1)+f(-1)=

2

a

≠0，f(1)-f(-1)=-2≠0，
∴f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（3分）
（2）由f（x）=x，化簡整理：ax²-x+a=0，
則由題意得，方程ax²-x+a=0有且只有一個根，
∵a＞0，∴△=1-4a²=0，解得a=

1

2

 ， x=1．（6分）
（3）由f（e^x）=e^x+1得，

ex-a

aex

=e^x+1，即ae^2x+（a-1）e^x+a=0，
令t=e^x，且t＞0，整理為關于t方程at²+（a-1）t+a=0，
由題意得，方程at²+（a-1）t+a=0有兩個不同的正根，
滿足

△＞0 t1+t2＞0 t1t2＞0 a＞0

，即

(a-1)2-4a2＞0 - a-1 a ＞0 a＞0

，
解得0＜a＜

1

3

．（10分）

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，方程的解的問題通過換元法轉化為一元二次方程根的問題，再由判別式、韋達定理以及二次函數(shù)的圖象，列出等價不等式組，熟練掌握二次方程的根分布是解題的關鍵．