Question

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2﹣anx﹣an=0有一根為Sn﹣1，n=1，2，3，…．

（Ⅰ）求a1，a2；

（Ⅱ）{an}的通項(xiàng)公式．

 

Answer 1

（Ⅰ）a1=；a2=．（Ⅱ）an=，n=1，2，3，…．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）分別取n=1，n=2，根據(jù)方程x2﹣anx﹣an=0有一根為Sn﹣1，即可求得a1，a2；

（Ⅱ）由題設(shè)（Sn﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，即Sn2﹣2Sn+1﹣anSn=0，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0，通過計(jì)算猜想Sn=，n=1，2，3，…．再用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論，進(jìn)而利用當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=，n=1時(shí)，a1==，即可求得{an}的通項(xiàng)公式．

【解析】
（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，x2﹣a1x﹣a1=0有一根為S1﹣1=a1﹣1，

于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．

當(dāng)n=2時(shí)，x2﹣a2x﹣a2=0有一根為S2﹣1=a2﹣，

于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．

（Ⅱ）由題設(shè)（Sn﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，

即Sn2﹣2Sn+1﹣anSn=0．

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，代入上式得

Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0 ①

由（Ⅰ）知S1=a1=，S2=a1+a2=+=．

由①可得S3=．

由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．

（i）n=1時(shí)已知結(jié)論成立．

（ii）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即Sk=，

當(dāng)n=k+1時(shí)，由①得Sk+1=，即Sk+1=，

故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．

綜上，由（i）、（ii）可知Sn=對(duì)所有正整數(shù)n都成立．

于是當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=，

又n=1時(shí)，a1==，所以{an}的通項(xiàng)公式an=，n=1，2，3，…．