Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）
（Ⅰ）若f（x）的圖象與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求b²+c²+2的取值范圍；
（Ⅱ）在b≥0的條件下，若f（x）的定義域[-1，0]，值域也是[-1，0]，符合上述要求的函數(shù)f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表達(dá)式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到判別式△=0，求出b²=4c，代入b²+c²+2，求出其范圍即可；
（22）二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b≥0，c∈R）的對(duì)稱軸是x=-$\frac{2}$，定義域?yàn)閇-1，0]，按照對(duì)稱軸在定義域[-1，0]內(nèi)、在[-1，0]的左邊和在[-1，0]的右邊三種情況分別求函數(shù)的值域，令其和題目條件中給出的值域相等，求b和c．

解答 解：（1）由于f（x）的圖象與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故△=0，
即△=b²-4c=0⇒b²=4c，
則b²+c²+2=c²+4c+2=（c+2）²-4≥-4；
（2）解：設(shè)符合條件的f（x）存在，
∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=-$\frac{2}$，
又b≥0，∴-$\frac{2}$≤0．
①當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{2}$≤0，即0≤b＜1時(shí)，
函數(shù)x=-$\frac{2}$有最小值-1，則 $\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{2}）=-1}\\{f（-1）=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{^{2}}{4}-\frac{^{2}}{2}+c=1}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$（舍去）．
②當(dāng)-1＜-$\frac{2}$≤-$\frac{1}{2}$，即1≤b＜2時(shí)，則 $\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{2}）=-1}\\{f（0）=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$（舍去）或 $\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$（舍去）．
③當(dāng)-$\frac{2}$≤-1，即b≥2時(shí)，函數(shù)在[-1，0]上單調(diào)遞增，則 $\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-1}\\{f（0）=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
綜上所述，符合條件的函數(shù)有兩個(gè)，
f（x）=x²-1或f（x）=x²+2x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問(wèn)題，及分類討論思想，難度一般．