Question

如圖，AB是☉O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交☉O于點(diǎn)D，DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：DE 是☉O的切線；
（Ⅱ）若

AC

AB

=

2

5

，求

AF

DF

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,圓的切線的判定定理的證明

專題：立體幾何

分析：（Ⅰ）連結(jié)OD，由圓的性質(zhì)得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能證明DE是⊙O切線．
（Ⅱ）過(guò)D作DH⊥AB于H，則有cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

=

2

5

，設(shè)OD=5x，則AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出

AF

DF

．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)OD，由圓的性質(zhì)得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，
又OD為半徑，∴DE是⊙O切線．
（Ⅱ）解：過(guò)D作DH⊥AB于H，則有∠DOH=∠CAB，
cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

=

2

5

，
設(shè)OD=5x，則AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，
∵∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，
DH⊥AB，交AB于H，
∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，
又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，
∴

AF

DF

=

AE

OD

=

AH

OD

=

7x

5x

=

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線的證明，考查圓內(nèi)兩線段的比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角形全等和三角形相似的性質(zhì)的合理運(yùn)用．