Question

【題目】如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，G為C1D1的中點(diǎn)，H為A1G的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，求證：EF⊥AH；
（2）設(shè)二面角C1﹣EF﹣C的大小為θ，試確定點(diǎn)F的位置，使得sin θ= ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖（2）所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A1（0，0，1），C1（1，1，1），D（0，1，0），E ，

G ，H ，

設(shè)F（x，1，0）（0≤x≤1），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，易知F（0，1，0），

= ， = ，

∴ =0，∴EF⊥AH．

（2）解：易知 = ， = ，且x≠1．

設(shè) =（a，b，c）是平面C1EF的法向量，則 ，∴ ，

令c=1，則平面C1EF的一個(gè)法向量 = ．

又 =（0，0，1）是平面EFC的一個(gè)法向量，

∴cos＜ ， ＞= = ，

∵sin θ= ，θ為銳角，∴cosθ= ．

∴ = ，解得x= 或x= （舍去）．

故當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，sin θ= ．

【解析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖（2）所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)F（x，1，0）（0≤x≤1），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，易知F（0，1，0），只要證明 =0，即可得出EF⊥AH．（2）sin θ= ，θ為銳角，可得cosθ= ．設(shè) =（a，b，c）是平面C1EF的法向量，則 ，可得平面C1EF的一個(gè)法向量 = ．又 =（0，0，1）是平面EFC的一個(gè)法向量，利用cos＜ ， ＞= ，解出即可得出．
【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．