Question

17．在△ABC中，|$\overrightarrow{AC}$|=1，|$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$|=|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（　�。�

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 可畫(huà)出圖形，取AB的中點(diǎn)D，然后連接CD，這樣根據(jù)條件即可得到$|\overrightarrow{BA}|=2|\overrightarrow{CD}|$，從而得出△ABC為Rt△，根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：如圖，取AB中點(diǎn)D，連接CD，則：
$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CD}$；
∴由$|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$得：$|\overrightarrow{BA}|=2|\overrightarrow{CD}|$；
∴∠ACB=90°；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos∠BAC$
=$|\overrightarrow{AB}|cos∠BAC•|\overrightarrow{AC}|$
=$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$
=1．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，向量的減法的幾何意義，以及直角三角形中線的性質(zhì)，向量數(shù)量積的計(jì)算公式．