Question

7．已知函數(shù)f（x）=lg（ax²+2x+1），若f（x）的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍及f（x）的值域．

Answer 1

分析 本題考查的是函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題．在解答時(shí)，由于函數(shù)f（x）的定義域是R，所以ax²+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立．解此恒成立問(wèn)題即可獲得實(shí)數(shù)a的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)最值的知識(shí)易得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，所以ax²+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立．
由此得 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1．
又因?yàn)閍x²+2x+1=a（x+$\frac{1}{a}$）²+1-$\frac{1}{a}$＞0，
所以f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-$\frac{1}{a}$），
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞），
f（x）的值域是[lg（1-$\frac{1}{a}$），+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了恒成立的思想、問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．