Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$其離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦點(diǎn)為F，拋物線y²=8x的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，且$\overrightarrow{PA}={λ_1}\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{PB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，試問(wèn)λ₁+λ₂是否為定值，若是求出該值，否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．又拋物線y²=8x的焦點(diǎn)（2，0）恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，可得a=2，可得b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，即可得出．
（2）由題意知，直線的斜率存在，由（1）知$F（{\sqrt{3}，0}）$，設(shè)直線的方程為：$y=k（{x-\sqrt{3}}）$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則點(diǎn)$P（{0，-\sqrt{3}k}）$．直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得：$（{1+4{k^2}}）{x^2}-8\sqrt{3}{k^2}x+12{k^2}-4=0$，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)及其向量相等即可得出．

解答 解：（1）∵橢圓C的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又拋物線y²=8x的焦點(diǎn)（2，0）恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，∴a=2，∴c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由題意知，直線的斜率存在，由（1）知$F（{\sqrt{3}，0}）$，設(shè)直線的方程為：$y=k（{x-\sqrt{3}}）$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則點(diǎn)$P（{0，-\sqrt{3}k}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（{x-\sqrt{3}}）\end{array}\right.$，消去y，得$（{1+4{k^2}}）{x^2}-8\sqrt{3}{k^2}x+12{k^2}-4=0$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{12{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$．
∵$\overrightarrow{PA}={λ_1}\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{PB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，
∴$（{{x_1}，{y_1}+\sqrt{3}k}）={λ_1}（{\sqrt{3}-{x_1}，-{y_1}}）$，∴$（{{x_2}，{y_2}+\sqrt{3}k}）={λ_2}（{\sqrt{3}-{x_2}，-{y_2}}）$，
∴${λ_1}=\frac{x_1}{{\sqrt{3}-{x_1}}}，{λ_2}=\frac{x_2}{{\sqrt{3}-{x_2}}}$．
∴λ₁+λ₂=$\frac{x_1}{{\sqrt{3}-{x_1}}}+\frac{x_2}{{\sqrt{3}-{x_2}}}=\frac{{\sqrt{3}（{{x_1}+{x_2}}）-2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}-\sqrt{3}（{{x_1}+{x_2}}）+3}}=-8$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)及其向量相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．