Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓Σ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，焦點(diǎn)為F₁、F₂，
直線l：x+y-2=0經(jīng)過焦點(diǎn)F₂，并與Σ相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求的方程；
（2）在上是否存在C、D兩點(diǎn)，滿足CD∥AB，F(xiàn)₁C=F₁D？若存在，求直線CD的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：方程思想,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意求出焦點(diǎn)F₂的坐標(biāo)，的c的值，利用離心率e求出a、b的值；
（2）（方法一）假設(shè)存在滿足條件的直線CD，由直線CD的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得方程①，計(jì)算△＞0；
再由F₁C=F₁D，E為CD的中點(diǎn)，推導(dǎo)出△＜0，從而得出結(jié)論．
（方法二）設(shè)出C、D以及線段CD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用差值法求出中點(diǎn)滿足的關(guān)系式，
再由F₁C=F₁D，得出直線CD的方程，它與橢圓方程聯(lián)立，判斷方程組是否有解即可．

解答： 解：（1）∵直線l：x+y-2=0經(jīng)過焦點(diǎn)F₂，
∴F₂（2，0），即c=2；
又e=

c

a

=

6

3

，∴a=

6

；
∴b=

a2-c2

=

2

，
∴橢圓∑的方程為

x2

6

+

y2

2

=1；

（2）（方法一）若存在滿足條件的直線CD，
∵CD∥AB，∴k_CD=k_AB=-1，
設(shè)直線CD的方程為y=-x+m，
由

x2 6 + y2 2 =1 y=-x+m

，
得x²+3（-x+m）²-6=0； 
即4x²-6mx+（3m²-6）=0，
∴△=（-6m）²-4×4（3m²-6）=96-12m²＞0；（*）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

3m

2

，x₁x₂=

3m2-6

4

；
由已知F₁C=F₁D，若線段CD的中點(diǎn)為E，則F₁E⊥CD，
∴kF1E=-

1

kCD

=1；
F₁（-2，0），E（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即E（

3m

4

，

m

4

）； 
由kF1E=

m 4

3m 4 +2

=1，
解得m=-4； 
當(dāng)m=-4時(shí)，96-12m²=-96＜0，這與（*）矛盾，
∴不存在滿足條件的直線CD． 
（方法二）假設(shè)存在C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），且線段CD的中點(diǎn)為E（x₀，y₀），
則x₀=

x1+x2

2

，y₀=

y1+y2

2

，

y1-y2

x1-x2

=-1； 
由

x12 6 + y12 2 =1 x22 6 + y22 2 =1

，兩式相減得：

1

6

（x₁-x₂）（x₁+x₂）+

1

2

（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
代入、化簡(jiǎn)得：

1

3

x₀-y₀=0，①
由已知F₁C=F₁D，則F₁E⊥CD，
∴kF1E=-

1

kCD

=1；
由kF1E=

y0

x0+2

=1，得y₀=x₀+2，②
由①②解得x₀=-3，y₀=-1，
即E（-3，-1）
直線CD的方程為：y=-（x+4），
聯(lián)立方程組

x2 6 + y2 2 =1 y=-x-4

，
消去y得4x²+24x+42=0，
∵△=24²-4×4×42=-96＜0，
∴方程（組）無解，即不存在滿足條件的直線CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，也考查了根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用問題，考查了方程組的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．