Question

11．某企業(yè)用180萬元購買一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計(jì)平均每年能給企業(yè)帶來100萬元的收入，維護(hù)設(shè)備的正常運(yùn)行第一年各種費(fèi)用約為10萬元，且從第二年開始每年比上一年所需費(fèi)用要增加10萬元．
（1）求該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤y（萬元）與使用年數(shù)x（x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系；
（2）這套設(shè)備使用多少年，可使年平均利潤最大？

Answer 1

分析 （1）求出x年的總收入及維護(hù)等總費(fèi)用，可得總利潤y與使用年數(shù)x（x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系；
（2）年平均利潤為$\frac{y}{x}$，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由題意知，x年總收入為100x萬元，
x年維護(hù)等總費(fèi)用為10（1+2+3+…+x）=5x（x+1）萬元，
∴總利潤y=100x-5x（x+1）-180，x∈N^*，
即y=-5（x²-19x+36），x∈N^*；
（2）年平均利潤為$\frac{y}{x}=-5（x+\frac{36}{x}）+95$，
∵x＞0，∴$x+\frac{36}{x}≥2\sqrt{x•\frac{36}{x}}=12$，
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{36}{x}$，即x=6時(shí)取“=”號(hào)．
∴$\frac{y}{x}≤35$．
答：這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇及其應(yīng)用，考查簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．