Question

設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項；③．設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為．換句話說，是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3．

（1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3，請寫出數(shù)列；

（2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和；

（3）若數(shù)列的前項和（其中常數(shù)），試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項和．

Answer 1

（1）1,4,7；（2）384；（3）

【解析】

試題分析：（1）本題解題的關(guān)鍵是抓住新定義中“是數(shù)列中，滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值”，正確理解題中新定義的內(nèi)容，根據(jù)伴隨數(shù)列的定義直接寫出數(shù)列1,4,7；（2）對于這類問題，我們要首先應(yīng)弄清楚問題的本質(zhì)，然后根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)以及解決數(shù)列問題時的常用方法即可解決，根據(jù)伴隨數(shù)列的定義得，由對數(shù)的運算對分類討論求出伴隨數(shù)列的前100項的和；（3）數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景是數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯點上命題的特點，由題意和與的關(guān)系，代入得，求出伴隨數(shù)列的各項，再對分類討論得.

試題解析：（1）由伴隨數(shù)列1,1,1,2,2,2,3及定義得

，故數(shù)列為1,4,7． 6分

（2）由，得

∴ 當(dāng)時， 1分

當(dāng)時， 1分

當(dāng)時， 1分

當(dāng)時， 1分

當(dāng)時， 1分

∴ 1分

（3）∵ ∴ 1分

當(dāng)時，

∴ 2分

由得：

因為使得成立的的最大值為，

所以 1分

當(dāng)時：

1分

當(dāng)時：

1分

當(dāng)時：

1分

所以 1分

考點：1、新定義求數(shù)列；2、數(shù)列求和；3、數(shù)列的應(yīng)用.