Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（5-a）x-3a}&{x＜1}\\{lo{g}_{a}x}&{x≥1}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{5}{4}$，5）
• B． （$\frac{5}{4}$，5]
• C． （1，5）
• D． （5，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性建立不等式關(guān)系即可．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（5-a）x-3a}&{x＜1}\\{lo{g}_{a}x}&{x≥1}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{5-a＞0}\\{5-a-3a≤lo{g}_{a}1=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜5}\\{a≥\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，即$\frac{5}{4}$≤a＜5，
故選：A

點評 本題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的應用，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．