Question

7．如圖，已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)₂P與y軸交于點(diǎn)A，△APF₁的內(nèi)切圓左邊PF₁上的切點(diǎn)為Q，若|PQ|=1，則雙曲線的離心率是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)內(nèi)切圓與AF₁，AF₂相切于M，N，|PF₂|=t，運(yùn)用內(nèi)切圓的性質(zhì)：切線長相等，以及雙曲線的定義和雙曲線的離心率公式，化簡計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)內(nèi)切圓與AF₁，AF₂相切于M，N，|PF₂|=t，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|PQ|=1，可得|QF₁|=2a+t-1，
再由圓的切線的性質(zhì)可得|NF₁|=|F₁Q|，|MP|=|QP|=1，
又|AF₁|=|AF₂|，|AM|=|AN|，
則|MF₂|=|NF₁|=1+t，
即有|F₁Q|=|MF₂|，
即2a+t-1=1+t，解得a=1，
由|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，可得2c=2$\sqrt{3}$，
即c=$\sqrt{3}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和圓的切線的性質(zhì)，考查推理能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．