Question

8．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n=（a_n+1）²（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設T_n為數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和，證明：$\frac{2}{3}$≤T_n＜1（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當n=1時，即可求得a₁=1，當n≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²，4S_n=（a_n+1）²，兩式相減可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，可知：a_n-a_n-1=2，數(shù)列{a_n}是以2為公差，以1為首項的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，根據(jù)“裂項法”即可求得T_n=1-$\frac{1}{2n+1}$，T_n＜1，由T_n≥T₁=$\frac{2}{3}$．即可證明$\frac{2}{3}$≤T_n＜1（n∈N⁺）．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，4a₁=（a₁+1）²，解得：a₁=1，
當n≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²，4S_n=（a_n+1）²，
兩式相減得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為公差，以1為首項的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1；
證明：（Ⅱ）$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
∴T_n=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=1-$\frac{1}{2n+1}$，
∴T_n＜1，
$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$＞0，
∴T_n≥T₁=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{2}{3}$≤T_n＜1（n∈N⁺）．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．