Question

13．如圖，正四棱錐P-ABCD中，AB=2，PA=$\sqrt{5}$．
（1）求側面PAD與側面PBC所成二面角的大��；
（2）在直線PA上是否存在點E，使CE⊥平面PAD．若存在，指出點E的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設AC，BD交于點O，連接OP．以O為原點建立空間直角坐標系，求出平面PAD和平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$，求出$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的夾角，得出二面角的余弦值；
（2）假設存在E點使得CE⊥平面PAD，則$\overrightarrow{CE}$∥$\overrightarrow{m}$，設出E點坐標，列方程組，判斷方程組是否有解即可得出結論．，

解答 解：（1）設AC，BD交于點O，連接OP．
∵正四棱錐P-ABCD，∴OP⊥平面ABCD，AC⊥BD．
∵PA=$\sqrt{5}$，AB=2，∴OA=OB=OC=OD=$\sqrt{2}$，OP=$\sqrt{3}$．
以O為原點，以OC，OB，OP為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：
∴A（-$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BP}$=（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
設平面PAD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}{x}_{1}-\sqrt{2}{y}_{1}=0}\\{\sqrt{2}{x}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}{x}_{2}-\sqrt{2}{y}_{2}=0}\\{-\sqrt{2}{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$．
令z₁=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），令z₂=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）．
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-4．|$\overrightarrow{m}$|=|$\overrightarrow{n}$|=2$\sqrt{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{2}$．
∴側面PAD與側面PBC所成二面角的余弦值為$\frac{1}{2}$．
∴側面PAD與側面PBC所成二面角為$\frac{π}{3}$．
（2）設PA上存在點E（a，0，$\frac{\sqrt{6}a}{2}$）使得CE⊥平面PAD．則$\overrightarrow{CE}$=（a-$\sqrt{2}$，0，$\frac{\sqrt{6}a}{2}$）．
∴$\overrightarrow{CE}$∥$\overrightarrow{m}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-\sqrt{2}=0}\\{\sqrt{2}（a-\sqrt{2}）+\sqrt{3}•\frac{\sqrt{6}a}{2}=0}\end{array}\right.$，方程無解．
∴直線PA上不存在點E使CE⊥平面PAD．

點評 本題考查了二面角的求法，線面垂直的判定，空間向量的應用，屬于中檔題．