Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n+3=3a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{4n+1}{a_n}$，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求證：T_n＜$\frac{7}{2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系及其等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：當n=1時，2S₁+3=3a₁，得a₁=3．
當n≥2時，
∵2S_n+3=3a_n（n∈N^*），2S_n-1+3=3a_n-1，
∴2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=3ⁿ．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得b_n=$\frac{4n+1}{a_n}$=$（4n+1）×（\frac{1}{3}）^{n}$，
∴T_n=$5×\frac{1}{3}+$9×$（\frac{1}{3}）^{2}$+…$（4n+1）×（\frac{1}{3}）^{n}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$5×（\frac{1}{3}）^{2}$+9×$（\frac{1}{3}）^{3}$+…+（4n-3）×$（\frac{1}{3}）^{n}$+（4n+1）×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
兩式相減得，$\frac{2}{3}$T_n=$5×\frac{1}{3}$+4×$[（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n}]$-（4n+1）×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$=$\frac{1}{3}$+4×$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$-（4n+1）×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$=$\frac{7}{3}$-（7+4n）×$（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
∴T_n=$\frac{7}{2}$-$\frac{1}{2}（4n+7）×（\frac{1}{3}）^{n}$$＜\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．