【題目】已知函數(shù),,其中為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有極值點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)證明:當(dāng)時,恒成立.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1),則,若在上有極值點,則在上有變號零點,設(shè)研究單調(diào)性使得函數(shù)和x軸有兩個交點即可;(2)要證成立,,
分別求得左式的最大值和右式的最小值,證得最大值小于最小值即可.
解析:
(1)由題意,,則,
由題意,若在上有極值點,
則在上有變號零點.
令,即,
設(shè),,
故,
則,,,,
又,,
,
即.
故若函數(shù)在上有極值點,
只需
則,
所以的取值范圍為.
(2)由題意,知要證成立.
設(shè),,
則,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,
所以當(dāng)時,取得最大值.
所以.
設(shè),,
則,
因為,則,
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,
故,即.
所以,
故.
綜上,當(dāng)時,.
命題得證.
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【題目】已知三棱錐的底面是等邊三角形,點在平面上的射影在內(nèi)(不包括邊界),.記,與底面所成角為,;二面角,的平面角為,,則,,,之間的大小關(guān)系等確定的是()
A. B.
C. 是最小角,是最大角D. 只能確定,
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ) 若函數(shù)有零點, 求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ) 證明: 當(dāng)時, .
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【題目】市場份額又稱市場占有率,它在很大程度上反映了企業(yè)的競爭地位和盈利能力,是企業(yè)非常重視的一個指標(biāo).近年來,服務(wù)機器人與工業(yè)機器人以迅猛的增速占領(lǐng)了中國機器人領(lǐng)域龐大的市場份額,隨著“一帶一路”的積極推動,包括機器人產(chǎn)業(yè)在內(nèi)的眾多行業(yè)得到了更廣闊的的發(fā)展空間,某市場研究人員為了了解某機器人制造企業(yè)的經(jīng)營狀況,對該機器人制造企業(yè)2017年1月至6月的市場份額進(jìn)行了調(diào)查,得到如下資料:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
市場份額 | 11 | 163 | 16 | 15 | 20 | 21 |
請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測該企業(yè)2017年7月份的市場份額.
如圖是該機器人制造企業(yè)記錄的2017年6月1日至6月30日之間的產(chǎn)品銷售頻數(shù)(單位:天)統(tǒng)計圖.設(shè)銷售產(chǎn)品數(shù)量為,經(jīng)統(tǒng)計,當(dāng)時,企業(yè)每天虧損約為200萬元;
當(dāng)時,企業(yè)平均每天收入約為400萬元;
當(dāng)時,企業(yè)平均每天收入約為700萬元.
①設(shè)該企業(yè)在六月份每天收入為,求的數(shù)學(xué)期望;
②如果將頻率視為概率,求該企業(yè)在未來連續(xù)三天總收入不低于1200萬元的概率.
附:回歸直線的方程是,其中
, ,
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【題目】已知焦點為的的拋物線:()與圓心在坐標(biāo)原點,半徑為的交于,兩點,且,,其中,,均為正實數(shù).
(1)求拋物線及的方程;
(2)設(shè)點為劣弧上任意一點,過作的切線交拋物線于,兩點,過,的直線,均于拋物線相切,且兩直線交于點,求點的軌跡方程.
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【題目】設(shè),在集合的所有元素個數(shù)為2的子集中,把每個子集的較大元素相加和記為a,較小元素之和記為b.
(1)當(dāng)n=3時,求a, b的值;
(2)當(dāng)n=4時,求集合的所有3個元素子集中所有元素之和;
(3)對任意的,是否為定值?若是定值,請給出證明并求出這個定值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6.若μ=4,σ=1,則P(5<X<6)=( )
A. 0.135 9 B. 0.135 8 C. 0.271 8 D. 0.271 6;
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【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且對任意的實數(shù)都有(是自然對數(shù)的底數(shù)),且,若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù),則實數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
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【題目】在四棱錐中,側(cè)面底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,,,,,E,F分別為AD,PC的中點.
Ⅰ求證:平面BEF;
Ⅱ若,求二面角的余弦值.
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