Question

【題目】設(shè)，在集合的所有元素個(gè)數(shù)為2的子集中,把每個(gè)子集的較大元素相加和記為a，較小元素之和記為b.

(1)當(dāng)n=3時(shí),求a, b的值；

(2)當(dāng)n=4時(shí),求集合的所有3個(gè)元素子集中所有元素之和;

(3)對(duì)任意的，是否為定值？若是定值，請(qǐng)給出證明并求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）見(jiàn)證明

【解析】

（1）根據(jù)題干所給的概念可得到相應(yīng)的參數(shù)值；（2）含有元素1的子集有個(gè)，同理含有2,3,4的子集也有個(gè)，元素之和為；（3）根據(jù)題意分析得到a和b的表達(dá)式，再由組合數(shù)的公式得到結(jié)果.

（1）集合的所有2元子集為，，，

較大元素分別為2，3，3，所以；

較小元素分別為1，1，2，所以.

（2）含有元素1的子集有個(gè)，同理含有2,3,4的子集也有個(gè)

于是所求元素之和為

(3)是為定值，定值為

當(dāng)n≥4，n∈N*，當(dāng)較小元素為1時(shí)，這樣的2元素集合有個(gè)，較小元素為2時(shí)，這樣的2元素集合為,依次類(lèi)推，較小元素為n-1的集合個(gè)數(shù)為1個(gè)，

同上，當(dāng)較大元素為2時(shí)，這樣的2元素集合有1個(gè)，較大元素為3的2元素集合為2個(gè)，依此類(lèi)推得到較大元素為n時(shí)，集合個(gè)數(shù)為個(gè)，進(jìn)而得到：

所以，.