【題目】在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F分別為AD，PC的中點(diǎn)．

Ⅰ求證：平面BEF；

Ⅱ若，求二面角的余弦值．

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】

（1）連接交于，并連接，，由空間幾何關(guān)系可證得，利用線面平行的判斷定理可得平面.

（2）（法一）取中點(diǎn)，連，，，由二面角的定義結(jié)合幾何體的特征可知為二面角的平面角,計(jì)算可得二面角的余弦值為.

（法二）以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則平面法向量可�。�,平面的法向量,由空間向量的結(jié)論計(jì)算可得二面角的余弦值為.

（1）連接交于，并連接，，

，，為中點(diǎn)， ，且，

四邊形為平行四邊形， 為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，

， 平面，平面，平面.

（2）（法一）由為正方形可得， .

取中點(diǎn)，連，，，側(cè)面 底面，且交于， ，

面，又，為二面角的平面角,

又，，，

，所以二面角的余弦值為.

（法二）由題意可知 面， ，如圖所示，以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則，，，.

平面法向量可�。�,

平面中，設(shè)法向量為，則 ,

取,

，所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)，，其中為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.

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（2）產(chǎn)品上市的哪幾天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元？

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【題目】為橢圓上的點(diǎn)，是兩焦點(diǎn)，若，則的面積是（ ）

A. B. C. D.

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（1）設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合，則中國______________A，美國__________A，印度____________A，英國_____________A；

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【題目】某校為了解學(xué)生對食堂伙食的滿意程度，組織學(xué)生給食堂打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分），從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的樣本，發(fā)現(xiàn)所有數(shù)據(jù)均在內(nèi)．現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成以下組：，，，，，，并畫出了樣本的頻率分布直方圖，部分圖形如圖所示．觀察圖形，回答下列問題：

（1）算出第三組的頻數(shù)，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（2）請根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的眾數(shù)和平均數(shù)，

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（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的回歸方程；

（3）據(jù)此估計(jì)2019年該城市人口總數(shù)．

（參考數(shù)據(jù)： ）

參考公式：線性回歸方程為，其中．

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【題目】定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：如果對任意的x1，x2∈R，都有f（），則稱函數(shù)f（x）是R上的凹函數(shù)，已知二次函數(shù)f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0）

（1）當(dāng)a＝1，x∈[﹣2，2]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；

（2）當(dāng)a＝1時(shí)，試判斷函數(shù)f（x）是否為凹函數(shù)，并說明理由；

（3）如果函數(shù)f（x）對任意的x∈[0，1]時(shí)，都有|f（x）|≤1，試求實(shí)數(shù)a的范圍．

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