Question

9．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A（8，-6），B（2，2）．
（Ⅰ）求AB的中垂線方程；
（Ⅱ）求過P（-2，0）點(diǎn)且到點(diǎn)B（2，2）的距離為4的直線l的方程；
（Ⅲ）一束光線從B點(diǎn)射向直線m：x+y+1=0，若反射光線過點(diǎn)A，求反射光線l₁和入射光線l₂所在的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出AB的斜率和AB的中點(diǎn)，從而求得AB的中垂線方程．
（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，利用點(diǎn)到直線的距離公式，分別求得直線的方程．
（Ⅲ）由題意可得點(diǎn)B（2，2）關(guān)于軸m：x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)N（-3，-3）在反射光線l₁上，由兩點(diǎn)式求得反射光線l₁的方程；再聯(lián)立方程組求得反射光線所在的直線和反射軸的交點(diǎn)H的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求入射光線所在直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)兩點(diǎn)A（8，-6），B（2，2），可得K_AB=$\frac{2+6}{2-8}$=-$\frac{4}{3}$，AB的中點(diǎn)C（5，-2），
故AB的中垂線方程為 y+2=-$\frac{4}{3}$（x-5），即 4x+3y-14=0．
（Ⅱ）由于所求直線過P（-2，0）點(diǎn)且到點(diǎn)B（2，2）的距離為4，
當(dāng)所求的直線的斜率不存在時(shí)，方程為x=-2；
當(dāng)所求的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y-0=k（x+2），即 kx-y+2k=0，
由$\frac{|2k-2+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，求得k=-$\frac{3}{4}$，此時(shí)，直線的方程為3x+4y+6=0．
綜上可得，要求的直線方程為x=-2 或 3x+4y+6=0．
（Ⅲ）由題意可得點(diǎn)B（2，2）關(guān)于直線m：x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)N（-3，-3）在反射光線l₁上，
由兩點(diǎn)式求得反射光線l₁的方程為$\frac{y+6}{-3+6}$=$\frac{x-8}{-3-8}$，即3x+11y+42=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{3x+11y+42=0}\end{array}\right.$求得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{31}{8}}\\{y=-\frac{39}{8}}\end{array}\right.$，故反射點(diǎn)H（$\frac{31}{8}$，-$\frac{39}{8}$），
故入射光線BH，即l₂的方程為 $\frac{y+\frac{39}{8}}{2+\frac{39}{8}}$=$\frac{x-\frac{31}{8}}{2-\frac{31}{8}}$，即 11x+3y-61=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反射定律的應(yīng)用，用點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式求直線的方程，求兩條直線的交點(diǎn)，屬于中檔題．