Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=2．
（1）若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為45°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|
（2）若（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （1）計算|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²，再開方即可；
（2）令（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）$•\overrightarrow{a}$=0，計算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入夾角公式計算．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\sqrt{2}×2×cos45°$=2．
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=2+4+4=10，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²=$\sqrt{10}$．
（2）∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）$•\overrightarrow{a}$=0，
即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow={\overrightarrow{a}}^{2}=2$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為45°．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，夾角公式，屬于基礎題．