Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，給出下列四個(gè)結(jié)論
①若A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinC
②等式c=acosB+bcosA一定成立
③$\frac{a}{sinA}=\frac{b+c}{sinB+sinC}$
④若（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$，則△ABC為等邊三角形
以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由正弦定理進(jìn)行判斷，
②由正弦定理，可得，a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，即可證得，
③通過正弦定理與合分比定理即可判斷它的正誤．
④利用單位向量的定義及向量的數(shù)量積為0兩向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的數(shù)量積求出三角形的夾角，得到非等邊三角形．

解答 解：①A＞B＞C，則a＞b＞c，由正弦定理得則sinA＞sinB＞sinC；故①正確，
②由正弦定理，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2r，（r為△ABC的外接圓的半徑），
則a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，
c=2rsinC=2rsin（A+B）=2r（sinAcosB+cosAsinB）
=2rsinAcosB+2rsinBcosA=acosB+bcosA；故②正確，
③由正弦定理以及合分比定理可知$\frac{a}{sinA}=\frac{b+c}{sinB+sinC}$，正確，
④：$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分別是$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$方向的單位向量，
向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$在∠BAC的平分線上，
由（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0知，AB=AC，
由且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$，可得∠CAB=120°，
∴△ABC為等腰非等邊三角形，故④不正確，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用，解三角形問題，三角函數(shù)基本性質(zhì)．單位向量的定義；向量垂直的充要條件；向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查了推理和歸納的能力．