Question

7．利用一個(gè)球體毛坯切削后得到一個(gè)四棱錐P-ABCD，其中底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA=1，且PA⊥平面ABCD，則球體毛坯體積的最小值應(yīng)為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}π}}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． $\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}π}}{2}$

Answer 1

分析 當(dāng)棱錐為球的內(nèi)接四棱錐時(shí)，球體的體積最小，此時(shí)側(cè)棱PC為球的直徑．

解答 解：由題意可知當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)都在球體毛坯的表面上時(shí)球體的體積最�。�
過球心E作平面ABCD的垂線EO，則O為底面ABCD的中心．
∵PA⊥平面ABCD，∴OE∥PA，
∵O為AC的中點(diǎn)，∴E為PC的中點(diǎn)，
∵PA=AB=BC=1，∴AC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$．
∴球體的半徑r=$\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴球體的體積V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}=\frac{\sqrt{3}π}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，屬于中檔題．