Question

6．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{3}}$=1，經(jīng)過點（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$）的雙曲線N：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率與橢圓M的離心率互為倒數(shù)．
（1）求雙曲線N的方程；
（2）拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線N的左焦點，求拋物線的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{3}}$=1，經(jīng)過點（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$）的雙曲線N：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率與橢圓M的離心率互為倒數(shù)，列出方程組，求出a，b，由此能求出雙曲線N的方程．
（2）先求出雙曲線N：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦點為F（$-2\sqrt{2}$，0），從而拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2$\sqrt{2}$，由此能求出拋物線的方程．

解答 解：（1）∵橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{3}}$=1，
經(jīng)過點（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$）的雙曲線N：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率與橢圓M的離心率互為倒數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{12}{{a}^{2}}-\frac{8}{^{2}}=1}\\{\frac{\sqrt{^{3}-4}}{\sqrt{^{3}}}=\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=2，
∴雙曲線N的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）雙曲線N：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦點為F（$-2\sqrt{2}$，0），
∴拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線N的左焦點，
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2$\sqrt{2}$，
∴拋物線的方程為y²=8$\sqrt{2}x$．

點評 本題考查雙曲線方程和拋物線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓、雙曲線、拋物線性質(zhì)的合理運用．