Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x+x²-x，若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，通過|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，求出k的范圍即可．

解答 解：f'（x）=e^x+2x-1，當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，f'（x）＞0；
當(dāng)x=0時(shí)，f'（x）=0；當(dāng)x＜0時(shí)，e^x＜1，f'（x）＜0，
所以f（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增．
所以f（x）_min=f（0）=1，
∵$f（1）-f（-1）=e-\frac{1}{e}-2＞0$，
∴f（x）_max=f（1）=e，對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（0）=e-1，
可得k≥e-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．