Question

8．已知向量$\overrightarrow a$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$sin x，cos 2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f （x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間
（2）求f（x）在[0，$\frac{3π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)向量的數(shù)量積公式，和三角函數(shù)基本公式化簡得到f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），再根據(jù)正弦函數(shù)的周期和單調(diào)性即可求出答案，
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出最值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$sin x，cos 2x），x∈R，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，在（$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{π}{3}$）=1，
∵f（0）=sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，f（$\frac{3π}{4}$）=sin（$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{6}$）=-sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）_min=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積公式和三角函數(shù)的化簡和正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．