Question

12．如圖所示，平行四邊形ABCD中，M為DC的中點，N是BC的中點，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow40nxtr7$，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{n}$．
（1）試以$\overrightarrow$，$\overrightarrowet4qyuk$為基底表示$\overrightarrow{MN}$；
（2）試以$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$為基底表示$\overrightarrow{AB}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，對應向量相等，結合中點的定義，即可用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{MN}$；
（2）先用$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$，列出方程組即可求出$\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，平行四邊形ABCD中，M為DC的中點，N是BC的中點，
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$；
（2）∵$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
即$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrowmevcbze$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$①，
$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
即$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrowxuuj8cj$②；
②×2-①得，2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow$，
解得$\overrightarrow$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{n}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{m}$，
即$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{m}$+$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{n}$．

點評 本題考查了平面向量的線性表示與運算問題，是基礎題目．