Question

2．已知平面四邊形ABCD中，DA=AB=BC，AB⊥AD，∠ABC=135°，現(xiàn)沿對角線BD將△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD
（Ⅰ）求證：AD⊥平面ABC；
（II）在線段AC上是否存在一個點P，使得直線DP和平面ABC所成角為60°？若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出DB⊥BC，從而CB⊥平面ABD，進而AD⊥BC，再由AB⊥AD，能證明AD⊥平面ABC．
（Ⅱ）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，過B作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，在線段AC上存在一個點P，使得直線DP和平面ABC所成角為60°，且$\overrightarrow{AP}=\frac{\sqrt{6}}{6}\overrightarrow{AC}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵平面四邊形ABCD中，DA=AB=BC，AB⊥AD，∠ABC=135°，
∴DB⊥BC，
∵沿對角線BD將△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，又平面ABD∩平面CBD=BD，
∴CB⊥平面ABD，
∵AD?平面ABD，∴AD⊥BC，
又AB⊥AD，AB∩BC=B，
∴AD⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）如圖，以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，過B作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
設DA=AB=BC=2，P（a，b，0），$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AC}$，0≤λ≤1，
則A（2，0，0），C（0，2，0），D（2，0，2），（a-2，b，0）=λ（-2，2，0），
解得a=2-2λ，b=2λ，∴P（2-2λ，2λ，0），$\overrightarrow{DP}$=（-2λ，2λ，-2），
∵平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），直線DP和平面ABC所成角為60°，
∴sin60°=$\frac{|\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8{λ}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤λ≤1，解得$λ=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴在線段AC上存在一個點P，使得直線DP和平面ABC所成角為60°，且$\overrightarrow{AP}=\frac{\sqrt{6}}{6}\overrightarrow{AC}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．