Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出f′（x），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，
（2）由f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，且f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，解不等式從而求出a的范圍．

解答 解：（1）a=-1時(shí)：f（x）=x²-lnx，（x＞0），
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的極小值是f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$（1+ln2）；
（2）∵f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，
若f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
則：f′（1）=2+a≥0，
∴a≥-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，極值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是一道中檔題．