Question

18．設△ABC的內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，已知A=60°，a=$\sqrt{3}$，sinB+sinC=6$\sqrt{2}$sinBsinC，則△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得sinB=$\frac{2}$，sinC=$\frac{c}{2}$，化簡已知等式可得b+c=3$\sqrt{2}$bc，兩邊平方可得：b²+c²+2bc=18b²c²，又由余弦定理可得3=b²+c²-bc，從而聯(lián)立即可解得bc的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵A=60°，a=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，可得：sinB=$\frac{2}$，sinC=$\frac{c}{2}$，
∵sinB+sinC=6$\sqrt{2}$sinBsinC，可得：$\frac{2}$+$\frac{c}{2}$=6$\sqrt{2}$×$\frac{2}$×$\frac{c}{2}$，化簡可得：b+c=3$\sqrt{2}$bc，
∴兩邊平方可得：b²+c²+2bc=18b²c²，①
又∵由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：3=b²+c²-bc，②
∴聯(lián)立①②可得：6b²c²-bc-1=0，解得：bc=$\frac{1}{2}$，或-$\frac{1}{3}$（舍去），
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．