Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{e}^{x}}{x}$+x．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），求實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）求證：當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）至多有一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在定義域上的極小值大于極大值？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），求實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）a＜0時(shí)，x＜0，f′（x）＞0，函數(shù)在（-∞，0）上單調(diào)遞增，無(wú)極值；x＞0，令g（x）=ae^x（x-1）+x²，g′（x）=x（ae^x+2）=0，x=ln（-$\frac{2}{a}$）．由此證明當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）至多有一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅲ）存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在定義域上的極小值大于極大值，a的取值范圍是a＞0．由（II）知，a＜0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)極值點(diǎn)，a=0時(shí)，f（x）=x無(wú)極值點(diǎn)．a(chǎn)＞0時(shí)，g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．分類討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{a{e}^{x}}{x}$+x，
∴f′（x）=$\frac{a{e}^{x}（x-1）+{x}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=1，f（1）=ae+1，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），
∴f′（1）=$\frac{f（1）-1}{1-0}$，
∴a=$\frac{1}{e}$．
證明：（Ⅱ）a＜0時(shí)，x＜0，f′（x）＞0，函數(shù)在（-∞，0）上單調(diào)遞增，無(wú)極值；
x＞0，令g（x）=ae^x（x-1）+x²，g′（x）=x（ae^x+2）=0，x=ln（-$\frac{2}{a}$）．
①ln（-$\frac{2}{a}$）≤0，a≤-2，g′（x）≤0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即f′（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)極值點(diǎn)；
②ln（-$\frac{2}{a}$）＞0，-2＜a＜0，x∈（0，ln（-$\frac{2}{a}$）），g′（x）＞0，g（x）在（0，ln（-$\frac{2}{a}$））上單調(diào)遞增，x∈（ln（-$\frac{2}{a}$），+∞），g′（x）＜0，g（x）在（ln（-$\frac{2}{a}$），+∞），上單調(diào)遞減，
∵g（ln（-$\frac{2}{a}$））＞g（0）=-a＞0
∴g（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即f′（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)極值點(diǎn)；
綜上所述，a＜0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)極值點(diǎn)；
解：（Ⅲ）存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在定義域上的極小值大于極大值，a的取值范圍是a＞0．
由（II）知，a＜0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上至多有一個(gè)極值點(diǎn)，a=0時(shí)，f（x）=x無(wú)極值點(diǎn)．
a＞0時(shí)，g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
①下面研究f（x）在（0，+∞）上的極值情況：
∵g（0）=-a＜0，g（1）=1＞0，∴存在實(shí)數(shù)x₁∈（0，1），使得g（x₁）=0，x∈（0，x₁），g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，x₁）上遞減；
x∈（x₁，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（x₁，+∞）上遞增；
∴在（0，+∞）上，函數(shù)f（x）的極小值為f（x₁），無(wú)極大值；
②下面考慮f（x）在（-∞，0）上的極值情況：
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，g（-1）=1-$\frac{2a}{e}$＞0；
當(dāng)a＞1時(shí)，g（-1+ln$\frac{1}{a}$）=$（ln\frac{1}{a}）^{2}+（\frac{1}{e}-2）ln\frac{1}{a}+1-\frac{2}{e}$，
令ln$\frac{1}{a}$=t（t＜0），令h（t）=${t}^{2}+（\frac{1}{e}-2）t+1-\frac{2}{e}$，
∵h(yuǎn)（t）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴h（t）＞h（0）=1-$\frac{2}{e}$＞0，即g（-1+ln$\frac{1}{a}$）＞0，
綜上所述，∵g（0）=-a＜0，
∴存在實(shí)數(shù)x₂∈（-∞，0），使得g（x₂）=0，且x∈（x₂，0）時(shí)，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在（x₂，0）上遞減；x∈（-∞，x₂）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，x₂）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在（-∞，0）上，f（x）的極大值為f（x₂），無(wú)極小值，
∵x₂＜0＜x₁，且a＞0，
∴f（x₂）＜0＜f（x₁），
∴當(dāng)且僅當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域上的極小值大于極大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度大．