13．證明f（x）=-x2+3在（0，+∞）上是減函數(shù)．

分析 證法一：設(shè)0＜x1＜x2，作差判斷f（x1）與f（x2）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得f（x）=-x2+3在（0，+∞）上是減函數(shù)．
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0恒成立，可得：f（x）=-x2+3在（0，+∞）上是增函數(shù)

解答 證法一：設(shè)0＜x1＜x2…（2分）
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-x_1^2+3-（{-x_2^2+3}）$…（4分）
=$x_2^2-x_1^2=（{{x_2}+{x_1}}）（{{x_2}-{x_1}}）$…（6分）
∵0＜x1＜x2，
∴x2+x1＞0，x2-x1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）=-x2+3在（0，+∞）上是增函數(shù)…（10分）
證法二：∵f（x）=-x2+3，
∴f′（x）=-2x，…（4分）
當(dāng)x∈（0，+∞）時，
f′（x）＜0恒成立，…（8分）
∴f（x）=-x2+3在（0，+∞）上是增函數(shù)…（10分）

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

3．過點（1，-3）且平行于直線x-2y+3=0的直線方程為（　　）
A．x-2y-7=0B．2x+y+1=0C．x-2y+7=0D．2x+y-1=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．已知點A（2，0），B（-1，3）在直線l：x-2y+a=0的兩側(cè)，則a的取值范圍是（　�。�
A．a＜-2，或a＞7B．-2＜a＜7C．-7＜a＜2D．a=-2，或a=7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．設(shè)U=R，集合A={x|-2＜x＜1}，B={x|-1＜x≤4}，則如圖中陰影部分表示的集合為{x|x≤-2，或-1＜x＜1，或x＞4}．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．函數(shù)y=$\frac{1}{{\sqrt{x+1}}}$的定義域為（　　）
A．（-1，+∞]B．（-1，0]C．（-1，+∞）D．（-1，0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．設(shè)集合M={1，9，a}，集合P={1，a，2}，若P⊆M，則實數(shù)a的取值個數(shù)為（　�。�
A．0個B．1個C．2個D．3個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

5．若g（x）=x-${∫}_{0}^{1}$g（t）dt-$\frac{3}{2}$，則g（x）=（　�。�
A．x+1B．x-1C．x-2D．x-$\frac{3}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

2．如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．過B1作l交橢圓于P、Q兩點，使PB2垂直QB2，求直線l的方程x+2y+2=0和x-2y+2=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1{0}^{-x}-2，x≤0}\\{2ax-1，x＞0}\end{array}\right.$（a是常數(shù)，a＞0）．給出下列命題：
①函數(shù)的最小值為-1；
②若方程m=|f（x+k）|（k∈R）有兩個零點，則m≥1
③若f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是a≥1
④對任意的x1，x2∈（-∞，0）且x1≠x2，恒有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
其中正確命題的序號是①④．（寫出所有正確命題的序號）

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