Question

7．（$\frac{2}{\sqrt{x}}$-x）⁹展開(kāi)式中除常數(shù)項(xiàng)外的其余項(xiàng)的系數(shù)之和為5377．

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式，求出展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，再令x=1可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和，由此求出展開(kāi)式中除常數(shù)項(xiàng)外的其余項(xiàng)的系數(shù)和．

解答 解：（$\frac{2}{\sqrt{x}}$-x）⁹展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•（$\frac{2}{\sqrt{x}}$）^9-r•（-1）^r•x^r=（-1）^r•${C}_{9}^{r}$•2^9-r•${x}^{\frac{3r-9}{2}}$，
令$\frac{3r-9}{2}$=0，求得r=3，
所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（-1）³•${C}_{9}^{3}$•2⁶=-5376，
令x=1可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為（2-1）⁹=1，
所以展開(kāi)式中除常數(shù)項(xiàng)外的其余項(xiàng)的系數(shù)之和為1+5376=5377．
故答案為：5377．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)，是基礎(chǔ)題目．