Question

9．已知函數(shù)$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$．
（1）用五點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖，并求出y=f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程與對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)；
（2）指出函數(shù)y=f（x）的圖象可以由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)哪些變換得到；
（3）當(dāng)x∈[0，m]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)?[{-\sqrt{3}，2}]$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用列表法，結(jié)合五點(diǎn)作圖法進(jìn)行取值作圖．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
（3）由條件可得2m-$\frac{π}{3}$≥$\frac{π}{2}$，即 m≥$\frac{5π}{12}$．又函數(shù)y=f（x）在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上是單調(diào)減函數(shù)，令2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，解得 x=$\frac{5π}{6}$，由此可得m的取值范圍．

解答 解：（1）列表：

2x-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	$\frac{7π}{6}$
y	0	2	0	-2	0

描點(diǎn)，連線(xiàn)可得對(duì)應(yīng)的圖象為：

由2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z；
由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z可解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
（2）把y=sinx圖象向右平移$\frac{π}{3}$，得到函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
再把函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$，得到函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
最后再把函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象．  …（6分）
（3）∵當(dāng)x∈[0，m]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇-$\sqrt{3}$，2]，
又當(dāng)x∈[0，m]時(shí)，有-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2m-$\frac{π}{3}$，且y取到最大值2，f（0）=-$\sqrt{3}$，
所以2m-$\frac{π}{3}$≥$\frac{π}{2}$，故 m≥$\frac{5π}{12}$． …（8分）
又函數(shù)y=f（x）在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上是單調(diào)減函數(shù)，令2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，可得 x=$\frac{5π}{6}$．
所以m的取值范圍是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{6}$]．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，要求熟練掌握相應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì)以及五點(diǎn)法作圖，屬于基本知識(shí)的考查．