Question

15．已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-x-2，且函數(shù)g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=-1的f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）令g（x）=0，求得a=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，令h（x）=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)，令t（x）=1-x-2lnx，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性，可得h（x）的最大值，當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，求出g（x）的單調(diào)性，由條件，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=（x²-2x）•lnx-x²+2，定義域（0，+∞），
可得f′（x）=（2x-2）•lnx+（x-2）-2x，
即有f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜為f′（1）=-3，
又f（1）=1，
則f（x）在（1，f（1））處的切線方程3x+y-4=0；
（2）令g（x）=f（x）-x-2=0，
則（x²-2x）•lnx+ax²+2=x+2，
即a=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{1-（x-2）lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{2}}$，
令t（x）=1-x-2lnx，則t′（x）=$\frac{-x-2}{x}$，
由x＞0，可得t′（x）＜0，
可得t（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
又t（1）=h′（1）=0，
可得當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，
即有h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
則h（x）_max=h（1）=1，
即有當(dāng)函數(shù)g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)a=1，
當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=（x²-2x）•lnx+x²-x，
若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，只需證明g（x）_max≤m，
則g′（x）=（x-1）（3+2lnx），
令g′（x）=0，得x=1或$x={e^{-\frac{3}{2}}}$，
又e^-2＜x＜e，
可得函數(shù)g（x）在（e^-2，${e^{-\frac{3}{2}}}$）上單調(diào)遞增，
在（${e^{-\frac{3}{2}}}$，1）上單調(diào)遞減，在（1，e）上單調(diào)遞增，
又g（${e^{-\frac{3}{2}}}$）=-e^-3+2${e^{-\frac{3}{2}}}$，g（e）=2e²-3e，
由g（${e^{-\frac{3}{2}}}$）=-e^-3+2${e^{-\frac{3}{2}}}$＜2${e^{-\frac{3}{2}}}$＜2e＜2e（${e^{-\frac{3}{2}}}$）=g（e），
可得g（${e^{-\frac{3}{2}}}$）＜g（e），
則m≥2e²-3e，
可得m的取值范圍是[2e²-3e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．