Question

5．（1）設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x∈[0，1）}\\{2-x，x∈[1，2]}\end{array}\right.$，求${∫}_{0}^{2}$f（x）dx的值；
（2）若復(fù)數(shù)z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i，且$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$為純虛數(shù)，求|z₁|．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分段函數(shù)的積分公式進行計算即可．
（2）根據(jù)純虛數(shù)的定義，建立方程關(guān)系求出a的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進行計算即可．

解答 解：（1）${∫}_{0}^{2}$f（x）dx=∫${\;}_{0}^{1}$x²dx+∫${\;}_{1}^{2}$（2-x）dx=$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{0}^{1}$+（2x-$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$
=$\frac{1}{3}$+（2×$2-\frac{1}{2}$×2²）-（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$+2-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{6}$．
（2）∵$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$為純虛數(shù)，∴設(shè)$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=bi，b是實數(shù)，
則z₁=z₂bi，即a+2i=（3-4i）bi=4b+3bi，
則$\left\{\begin{array}{l}{a=4b}\\{2=3b}\end{array}\right.$，則a=$\frac{8}{3}$，則|z₁|=$\sqrt{{a}^{2}+4}$=$\sqrt{\frac{64}{9}+4}$=$\sqrt{\frac{100}{9}}$=$\frac{10}{3}$．

點評 本題主要考查積分的計算以及復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用，利用相應(yīng)的公式是解決本題的關(guān)鍵．