Question

4．某校從高二年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求圖中實(shí)數(shù)a的值；
（2）若該校高二年級共有學(xué)生640人，試估計(jì)該校高二年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)；
（3）若從數(shù)學(xué)成績在[40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)陰影矩形的面積之和等于1，計(jì)算a的值；
（2）首先計(jì)算成績不低于60分的頻率，即后四個(gè)小矩形的面積和，然后用640×頻率計(jì)算人數(shù)；
（3）若兩名學(xué)生的學(xué)生成績之差的絕對值不大于10，即兩人是同一組的學(xué)生，那么首先計(jì)算兩組的人數(shù)，并編號，并以編號的形式列出所有選取2人的基本事件的個(gè)數(shù)，同時(shí)計(jì)算同一組的兩個(gè)人的所有基本事件的個(gè)數(shù)，最后相除得到概率．

解答 （1）解：由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，
∴10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．
解得a=0.03．
（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于6（0分）的頻率為
1-10×（0.005+0.01）=0.85．
由于該校高一年級共有學(xué)生640人，利用樣本估計(jì)總體的思想，
可估計(jì)該校高一年級數(shù)學(xué)成績不低于6（0分）的人數(shù)約為640×0.85=544人．
（3）解：成績在[40，50）分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2人，分別記為A，B．
成績在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F(xiàn)．（7分）
若從數(shù)學(xué)成績在[40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，
則所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（B，C），（B，D），
（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）共15種．（9分）
如果兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都在[40，50）分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，
那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定不大于10．
如果一個(gè)成績在[40，50）分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個(gè)成績在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，
那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定大于10．
記“這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10”為事件M，
則事件M包含的基本事件有：
（A，B），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）共7種．
所以所求概率為P（M）=$\frac{7}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．