Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，|F₁F₂|=2，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P，左頂點(diǎn)為A，且cos∠F₁PF₂的最小值為

1

2

．
（1）橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN，垂足為H，且

AH

2=

MH

•

HN

，直線l是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，不過說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出cos∠F₁PF₂的最小值．通過橢圓的定義求出a，b，然后求解橢圓的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達(dá)定理，結(jié)合

AH

2=

MH

•

HN

，推出AH⊥MN，然后求出m與k的關(guān)系，利用直線系求出直線恒過的定點(diǎn)．

解答： 解：（1）因?yàn)镻是橢圓上的點(diǎn)，所以|PF₁|+|PF₂|=2a，
在△F₁PF₂中，有余弦定理可得：cos∠F1PF2=

P F 2 1 +P F 2 2 -F1 F 2 2

2PF1PF2

=

(PF1+PF2)2-4

2PF1PF2

-1≥

(PF1+PF2)2-4

(PF1+PF2)2 2

-1=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)PF₁=PF₂時(shí)取等號(hào)，
∴

4a2-4

2a2

-1=

1

2

⇒a2=4，|F₁F₂|=2，可得c=2，∴b²=3，
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與橢圓方程，
即

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)
∴△＞0⇒3+4k²＞m²，
∵

AH

2=

MH

•

HN

，∴AH⊥MN⇒AM⊥AN⇒

(x1+2)(x2+2)+y1y2=0 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)

⇒4k2-16km+7m2=0
解得m=2k或m=

2

7

k
當(dāng)m=2k直線l過點(diǎn)A（舍去），
當(dāng)m=

2

7

k時(shí)，直線l：y=kx+

2

7

k，過定點(diǎn)(-

2

7

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．