Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+2sinθ•x-1，x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（1）當(dāng)sinθ=-$\frac{1}{2}$時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，且θ∈[0，2π），求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值和最小值即可；
（2）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得到-sinθ≤-$\frac{1}{2}$或-sinθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而求出θ的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)sinθ=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$，
由x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）有最小值為-$\frac{5}{4}$，
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值-$\frac{1}{4}$；
（2）由已知f（x）=x²+2sinθ•x-1的圖象的對(duì)稱軸為x=-sinθ，
要使f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，
則-sinθ≤-$\frac{1}{2}$或-sinθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即sinθ≥$\frac{1}{2}$或sinθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又θ∈[0，2π），
所以θ的取值范圍是：[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]∪[$\frac{4π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．