Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求證：BC⊥平面PBD；
（2）在側(cè)面PC上求一點Q，使得二面角Q-BD-P的余弦值為

3

3

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直，利用勾股定理的逆定理得到：△BCD是直角三角形，最后求得線面垂直．
首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量得到二面角的夾角，最后求得點Q的位置．

解答： （1）證明：在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，
則：PD⊥底面ABCD，
PD⊥BC
由底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
解得：BD=BC=

2

由于：BC²+BD²=CD²
所以：△BCD是直角三角形．
BC⊥BD
所以：BC⊥平面PBD
（2）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則：

PC

=(0，2，-1)，

BC

=(-1，1，0)，
設(shè)

PQ

=λ

PC

，設(shè)Q（x₀，y₀，z₀）
則：（x₀，y₀，z₀）=（0，2λ，-λ）
則：Q（0，2λ，1-λ）

DQ

=(0，2λ，1-λ)
設(shè)平面BDQ的法向量為：

n

=(a，b，c)
根據(jù)線段長求得：

BD

=(1，1，0)
所以：

n • BD =0 n • DQ =0

所以：

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

解得：

n

=(-1，1，

2λ

λ-1

)
由于二面角Q-BD-P的余弦值為

3

3

．
則：

3

3

=|

n • BC

| n || BC |

|
解得：λ=

1

2

所以：點Q是PC的中點．

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定和性質(zhì)定理，勾股定理的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系的建立，法向量，二面角的應(yīng)用．屬于中等題型．