Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）設(shè)g（x）=log4（a2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)可知：f（x）=f（﹣x），
∴，化簡得，
即x=﹣2kx對一切x∈R恒成立，∴k=-．
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
即方程有且只有一個實根，
化簡得：方程有且只有一個實根，且a2x+a＞0成立，則a＞0．
令t=2x＞0，則（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一個正根，
設(shè)g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，
所以①當(dāng)a=1時，有t=1，合題意；
②當(dāng)0＜a＜1時，g（t）圖象開口向下，且g（0）=﹣1＜0，則需滿足，
此時有a=-2+2；a=-2-2（舍去）．
③當(dāng)a＞1時，又g（0）=﹣1，方程恒有一個正根與一個負(fù)根．
綜上可知，a的取值范圍是{-2+2}∪[1，+∞）．
【解析】（1）由f（x）=f（﹣x），化簡可得x=﹣2kx對一切x∈R恒成立，從而求得k的值．
（2）由題意可得，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，方程有且只有一個實根，且a2x+a＞0成立，則a＞0．令t=2x＞0，則（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一個正根，分類討論求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．